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다음은 하나의 집합과 하나의 이항 연산으로 정의되는 대수 구조들이다.
| 결합 법칙 | 항등원 | 가역원 | 교환 법칙 | |
| 마그마(S,*) | - | - | - | - |
| 반군(S,*) | O | - | - | - |
| 모노이드(S,*) | O | O | - | - |
| 가환 모노이드(S,*) | O | O | - | O |
| 군(S,*) | O | O | O | - |
| 아벨 군(S,*) (또는 가환군) | O | O | O | O |
다음은 하나의 집합과 두 개의 이항 연산으로 정의되는 대수 구조들이다. 하나의 집합과 하나의 이항 연산으로 정의되는 대수 구조 둘을 동시에 갖는다. 여기서 0은 덧셈의 항등원, 1은 곱셈의 항등원을 의미한다.
| (S,+) | (S,*) | 분배 법칙 | 가역원 | 0 ≠ 1 | |
| 환(S,+,*) | 아벨 군 | 모노이드 | O | - | - |
| 자명환(S,+,*) | 아벨 군 | 모노이드 | O | - | X |
| 가환환(S,+,*) | 아벨 군 | 가환 모노이드 | O | - | - |
| 유사환(S,+,*) | 아벨 군 | 반군 | O | - | - |
| 나눗셈환(S,+,*)(또는 비가환체) | 아벨 군 | 모노이드 | O | 0을 제외한 모든 원소 | - |
| 체(S,+,*) | 아벨 군 | 가환 모노이드 | O | 0을 제외한 모든 원소 | O |
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