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집합 하나와 이항 연산 하나로 정의되는 것들

결합 법칙항등원가역원교환 법칙마그마(S,*)----반군(S,*)O---모노이드(S,*)OO--군(S,*)OOO-아벨 군(S,*) (또는 가환군)OOOO

모노이드

추상대수학에서 모노이드(영어: monoid)는 항등원을 갖는, 결합 법칙을 따르는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 군의 정의에서 역원의 존재를 생략하거나, 반군의 정의에서 항등원의 존재를 추가하여 얻는다.모노이드 (M,⋅)는 다음과 같은 데이터로 구성되는 대수 구조이다.M은 집합이다.⋅:M×M→M은 이항 연산이다.이 데이터는 다음과 같은 두 공리를 만족시켜야 한다.(결합 법칙) 임의의 a,b,c∈M에 대하여, (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(항등원의 존재) 임의의 a∈M에 대하여 1⋅a=a⋅1=a가 성립하는 원소 1∈M이 존재한다. (만약 이러한 항등원이 존재한다면, 이는 유일하다는 것을 쉽게 보일 수 있다.)두 번째 공리를 생략하면 반군의 개념을 얻는다.다음과 같은 포함 관계가 성립한다.반군 ⊋ 모노이드..

체

체는 가환환이면서 나눗셈환이다. 구체적으로, 다음 조건들을 만족시키는 가환환 (K,+,−,⋅,0,1)을 체라고 한다.0≠1이다. (여기서 0∈K은 체의 덧셈의 항등원, 1∈K은 체의 곱셈의 항등원이다.)0을 제외한 모든 원소가 가역원이다. 즉, 임의의 a∈K에 대하여, 만약 a≠0라면 ab=ba=1인 b∈K가 존재한다.Referencehttps://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B2%B4_(%EC%88%98%ED%95%99)

환

1. 환은 덧셈과 곱셈이 정의된 집합이다.2. 환 (R,+,⋅) 은 이항 연산+:R×R→R⋅:R×R→R을 갖춘다. 즉, 환에서 덧셈과 곱셈은 닫힌 연산이다.3. 덧셈에 대해 결합 법칙, 교환 법칙이 성립한다.4. 덧셈에 대해 항등원, 역원이 존재한다.5. 곱셈에 대해 결합 법칙이 성립한다.6. 곱셈에 대해 항등원이 존재한다.7. 덧셈과 곱셈 사이에 분배 법칙이 성립한다.8. 환에서는 곱셈에 대해 교환 법칙이 성립하지 않을 수 있다. 만약 성립한다면 그 환을 가환환이라 부른다.9. 환에서는 곱셈에 대해 역원이 존재하지 않을 수 있다. 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라는 조건을 추가한다면 그 환을 나눗셈환이라 부른다.

AES는 16바이트 블록 단위로 암호화/복호화하는 알고리듬이다. 근데 이 세상의 모든 데이터가 16바이트로 나누어 떨어지지는 않는다. 그럼 1, 2, 3, ..., 15바이트짜리 데이터는 암호화 못 하는건가? 이상하다. 분명 AES는 표준으로 채택될 만큼 범용성 있는 알고리듬인데, 무작위 데이터가 주어졌을 때 그것을 암호화할 수 있을 확률이 고작 0.0625%(1/16) 밖에 안 된다고? 그럴 리가 없다. 그러면 어떻게 15바이트, 1바이트, 6바이트 등과 같은 데이터들을 암호화하지? 뒤에 0을 붙이나? 사실 그것도 말이 안 된다. 0x10 00 00과 0x10 00, 0x10은 모두 다르기 때문이다. 바이트 0도 엄연히 크기를 차지하는 데이터다. 그럼 대체 어떻게 15바이트를 암호화할 수 있는거지? 나..