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다음은 하나의 집합과 하나의 이항 연산으로 정의되는 대수 구조들이다. 결합 법칙항등원가역원교환 법칙마그마(S,*)----반군(S,*)O---모노이드(S,*)OO--가환 모노이드(S,*)OO-O군(S,*)OO모든 원소-아벨 군(S,*) (또는 가환군)OO모든 원소O다음은 하나의 집합과 두 개의 이항 연산으로 정의되는 대수 구조들이다. 하나의 집합과 하나의 이항 연산으로 정의되는 대수 구조 둘을 동시에 갖는다. 여기서 0은 덧셈의 항등원, 1은 곱셈의 항등원을 의미한다. (S,+)(S,*)분배 법칙가역원0 ≠ 1환(S,+,*)아벨 군모노이드O--자명환(S,+,*)아벨 군모노이드O-X가환환(S,+,*)아벨 군가환 모노이드O--유사환(S,+,*)아벨 군반군O--나눗셈환(S,+,*)(또는 비가환체)아벨 군모노이드..

추상대수학에서 모노이드(영어: monoid)는 항등원을 갖는, 결합 법칙을 따르는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 군의 정의에서 역원의 존재를 생략하거나, 반군의 정의에서 항등원의 존재를 추가하여 얻는다.모노이드 (M,⋅)는 다음과 같은 데이터로 구성되는 대수 구조이다.M은 집합이다.⋅:M×M→M은 이항 연산이다.이 데이터는 다음과 같은 두 공리를 만족시켜야 한다.(결합 법칙) 임의의 a,b,c∈M에 대하여, (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(항등원의 존재) 임의의 a∈M에 대하여 1⋅a=a⋅1=a가 성립하는 원소 1∈M이 존재한다. (만약 이러한 항등원이 존재한다면, 이는 유일하다는 것을 쉽게 보일 수 있다.)두 번째 공리를 생략하면 반군의 개념을 얻는다.다음과 같은 포함 관계가 성립한다.반군 ⊋ 모노이드..

체는 가환환이면서 나눗셈환이다. 구체적으로, 다음 조건들을 만족시키는 가환환 (K,+,−,⋅,0,1)을 체라고 한다.0≠1이다. (여기서 0∈K은 체의 덧셈의 항등원, 1∈K은 체의 곱셈의 항등원이다.)0을 제외한 모든 원소가 가역원이다. 즉, 임의의 a∈K에 대하여, 만약 a≠0라면 ab=ba=1인 b∈K가 존재한다.Referencehttps://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B2%B4_(%EC%88%98%ED%95%99)

1. 환은 덧셈과 곱셈이 정의된 집합이다.2. 환 (R,+,⋅) 은 이항 연산+:R×R→R⋅:R×R→R을 갖춘다. 즉, 환에서 덧셈과 곱셈은 닫힌 연산이다.3. 덧셈에 대해 결합 법칙, 교환 법칙이 성립한다.4. 덧셈에 대해 항등원, 역원이 존재한다.5. 곱셈에 대해 결합 법칙이 성립한다.6. 곱셈에 대해 항등원이 존재한다.7. 덧셈과 곱셈 사이에 분배 법칙이 성립한다.8. 환에서는 곱셈에 대해 교환 법칙이 성립하지 않을 수 있다. 만약 성립한다면 그 환을 가환환이라 부른다.9. 환에서는 곱셈에 대해 역원이 존재하지 않을 수 있다. 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라는 조건을 추가한다면 그 환을 나눗셈환이라 부른다.