접점의 좌표를 알 때 y²=4px에 대한 접선의 방정식 구하기

포물선의 방정식을 y²=4px,

접점의 좌표를 (a, b),

접선의 방정식의 기울기를 m,

접선의 방정식을 y-b=m(x-a)라고 하자.

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우리가 알고 있는 것은 p, a, b이고 모르는 것은 m이다.

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접점의 좌표가 (a, b)이므로

b²=4pa . . . (ㄱ)

a에 대해서 정리하면

a=b²/(4p) . . . (ㄴ)

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포물선의 방정식을 x에 대해서 정리해보자.

y²=4px

x=y²/(4p)

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접선의 방정식을 x에 대해서 정리해보자.

y-b=m(x-a)

y-b=mx-ma

y-b+ma=mx

m≠0이므로 양변을 m으로 나누면

x=(y-b+ma)/m

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x=y²/4p와 x=(y-b+ma)/m를 연립하면

y²/(4p)=(y-b+ma)/m

양변에 4pm을 곱하면

my²=4p(y-b+ma)

my²=4py-4pb+4pma

my²-4py+4pb-4pma=0

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이 방정식의 y에 대한 판별식은

(2p)²-m(4pb-4pma)

=4p²-4pbm+4pm²a 이다.

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포물선에 접한다는 것은 만나는 점이 하나라는 뜻이므로 판별식=0이다.

즉 4p²-4pbm+4pm²a=0

양변을 4로 나누면

p²-pbm+pm²a=0

p≠0이므로 양변을 p로 나누면

p-bm+m²a=0

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위 식을 a에 대해서 정리해보자.

m²a=bm-p

a=(bm-p)/m² ... (ㄷ)

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(ㄴ)과 (ㄷ)에 의하여

(bm-p)/m²=b²/(4p) 이다.

양변에 4pm²을 곱하면

4pbm-4p²=b²m²

4pbm-4p²-b²m²=0

4p²-4pbm+b²m²=0

좌변을 완전제곱식으로 나타낼 수 있다.

(2p-bm)²=0

2p-bm=0

2p=bm

m=2p/b

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접선의 방정식 y-b=m(x-a)에 m=2p/b를 대입하면

y-b=(2p/b)(x-a)

양변에 b를 곱하면

yb-b²=2p(x-a)

yb=2px-2pa+b²

이때 위 식에 (ㄱ)을 대입하면

yb=2px-2pa+4pa

yb=2px+2pa

yb=2p(x+a)

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따라서 y²=4px에 접하고 접점의 좌표가 (a, b)인 직선의 방정식은

yb=2p(x+a)

이다.