기울기를 알 때 y²=4px에 대한 접선의 방정식 구하기

포물선의 방정식을 y²=4px,

포물선에 접하고 기울기가 주어진 직선의 방정식을 y=mx+n이라고 하자.

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우리가 알고 있는 것은 p, m이고 모르는 것은 n이다.

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기울기가 주어진 직선의 방정식의 양변을 제곱하면 y²=m²x²+2mnx+n²

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y²=4px와 y²=m²x²+2mnx+n²를 연립하면

4px=m²x²+2mnx+n²

0=m²x²+(2mn-4p)x+n²

m²x²+(2mn-4p)x+n²=0

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이 방정식의 x에 대한 판별식은

(mn-2p)²-m²n²

=-4mnp+4p²

=4p(p-mn) 이다.

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포물선에 접한다는 것은 만나는 점이 하나라는 뜻이므로 판별식=0이어야 한다.

즉 4p(p-mn)=0 이다.

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여기서 p≠0이므로

p-mn=0

p=mn

n=p/m

라고 할 수 있다.

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따라서 y²=4px에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은

y=mx+p/m

이다.